Reflexive Simplizes und der Ring der Ganzen Zahlen

Vor kurzem ist mir die Idee gekommen ob es Zusammenhang zwischen reflexiven Simplizes und dem Ring der ganzen Zahlen eines Zahlkörpers gibt.
Kurz zur Erleuterung:
Sein $v_0,\dots,v_n \in \Z^n$ und $\delta = conv(v_0,\dots,v_n) $ ein n-Simplex.
Dann heißt $\delta$ reflexiv, falls $0$ der einizige Gitterpunkt ist, welcher im echtem Inneren von $\delta$ liegt oder alternativ falls $\delta^* = \cap_{v_i} \{ x : \geq -1 \}$ wieder ein Gittersimplex ist. (*)
Sein nun $K = \Q(\alpha) $ ein Körper mit $[K : \Q] = n$ und Ganzheitsring $O$. Fasst man eine Ecke $v_i$ von $\delta$ als Element von $O$ auf, so könnte es einen Zusammenhang geben zwischen (*) und der Multiplikation zweier Elemente aus $O$.
Das Problem, welches sich hier ergibt ist, dass in (*) $$ gegeben ist als $ = \sum x_i * v_i$ und auf der anderen Seite $_{O} = \sum \alpha^i x_i v_i >$
Eine Möglichkeit liegt darin $_{O}$ als gewichtetes Skalarprodukt aufzufassen, hierurch geht aber die Invarianz unter Spiegelung (und höchstwahrscheinlich auch unter Drehung) verloren. Betrachtet man z.B. im 2-Dimensionalen den selbtdualen (bezüglich $$ )reflexiven Simplex $\delta$ welcher durch die Ecken $v_0 = (-1,-1), v_1 = (0,1), v_2 = (1,-1)$ gegeben ist und sein $\Q(\alpha) : \Q$ eine Körpererweiterung vom Grad 2. Angenommen $\delta$ wäre auch reflexiv bezüglich $$, und sei weiter $\delta’$ der Simplex, welcher aus $\delta$ durch Spiegelung an der Geraden $x=y$ entsteht, dann ist $\delta’$ reflexiv bezüglich $$, aber nicht mehr bezüglich $_{O}$.
Aktuell habe ich keine Idee in wie weit dies überhaut ein sinnvoller Ansatz ist, und wohin dies führen könnte. Interessant werden könnte es dadurch, dass man _{O} als Multiplikation auffasst und somit dann die Ecken eines reflexiven Simplexes Einheiten in $O$ sind.